QwX的博客

事情是这样的，在秦心学姐沉迷于高考的时候，遇到了一个数学题。

求证:$\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{2n\times(2n+1)}<\frac{1}{3}$

因为秦心学姐会泰勒展开，所以知道那个式子的极限是$1-\ln2$。

但是秦心学姐并不满足于求出这个式子，所以秦心学姐提出了一个问题：

$\sum_{i=0}^\infty\prod_{j=1}^k\frac{1}{ik+j}$的值是多少？

以下是我的推导日天过程

\begin{align*} \sum_{i=0}^\infty\prod_{j=1}^k\frac{1}{ik+j}&=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1}C_{k-1}^{j-1}\frac{1}{ik+j} \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1}C_{k-1}^{j-1}\int_0^1x^{ik+j-1}dx \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^jC_{k-1}^j\int_0^1x^{ik+j}dx \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=0}^\infty\int_0^1(1-x)^{k-1}x^{ik}dx \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^1\sum_{i=0}^\infty x^{ik}(1-x)^{k-1}dx \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\int_0^1\frac{(1-x)^{k-1}}{1-x^k}dx \\ &【前方高能预警】 \\ &=\frac{1}{k!}\int_0^1\sum_{j=1}^{k-1}\frac{(1-\varepsilon^{-j})^{k-1}}{1-\varepsilon^j x}dx &(\varepsilon=e^{\frac{2i\pi}{k}}) \\ &=-\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k-1}\frac{(1-\varepsilon^{-j})^{k-1}}{\varepsilon^j}\ln(1-\varepsilon^j) \\ &=-\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k-1}(\varepsilon^j-1)^{k-1}\ln(1-\varepsilon^j) \\ &【什么？你以为这就完了？图森破】 \\ &=\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k-1}(\varepsilon^j-1)^{k-1}\sum_{i=1}^\infty\frac{\varepsilon^{ij}}{i} \\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i}\sum_{j=1}^{k-1}(\varepsilon^j-1)^{k-1}\varepsilon^{ij} \\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i}\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{l=0}^{k-1}(-1)^{k-1-l}C_{k-1}^l\varepsilon^{jl+ij} \\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i}\sum_{l=0}^{k-1}(-1)^{k-1-l}C_{k-1}^l\sum_{j=1}^{k-1}\varepsilon^{j(i+l)} \\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i}\sum_{l=0}^{k-1}(-1)^{k-1-l}C_{k-1}^l(-1+[(i+l)\bmod{k}=0]k) \\ &=\frac{1}{k!}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i}(\sum_{l=0}^{k-1}(-1)^{k-l}C_{k-1}^l+k(-1)^{(i-1)\bmod{k}}C_{k-1}^{(i-1)\bmod{k}}) \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{(i-1)\bmod{k}}C_{k-1}^{(i-1)\bmod{k}}}{i} \\ &=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=1}^k(-1)^{j-1}C_{k-1}^{j-1}\frac{1}{ik+j} \\ &=\sum_{i=0}^\infty\prod_{j=1}^k\frac{1}{ik+j} \\ &【登登登！成功推回来啦！】 \end{align*} 所以问题来了，这个式子还有更简洁的结果嘛？

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